什么是置换概念的准确定义？

都卡股市行情 2025-01-04 3

置换是将一个集合中的元素按照某种规则重新排列，形成一个新的集合，元素本身不变。

在数学中，置换（Permutation）是指将一个集合的所有元素重新排列的一种方式，更具体地说，对于一个包含n个元素的有限集合，其所有元素的一个全排列称为该集合的一个置换，置换在组合数学、群论以及统计学中都有广泛的应用。

定义

假设有一个包含n个不同元素的集合S = {a_1, a_2, ..., a_n}，那么这个集合的所有元素的一个排列称为集合S的一个置换，数学上通常用σ表示一个置换，它可以表示为：

\[ \sigma: S → S \]

每个元素a_i被映射到另一个唯一的元素a_j，并且这种映射是双射（即一一对应）。

例子

假设集合S = {1, 2, 3}，那么它的所有可能的置换包括：

(1 2 3)

(1 3 2)

(2 1 3)

(2 3 1)

(3 1 2)

(3 2 1)

这些置换分别表示如下：

(1 2 3) 表示1保持不变，2和3交换位置。

(1 3 2) 表示1保持不变，2和3交换位置。

(2 1 3) 表示2保持不变，1和3交换位置。

(2 3 1) 表示2保持不变，1和3交换位置。

(3 1 2) 表示3保持不变，1和2交换位置。

(3 2 1) 表示3保持不变，2和1交换位置。

1、双射性：每个元素只能出现在置换后的新位置一次，且每个元素都必须出现在新位置上。

2、可逆性：每个置换都有一个逆置换，即将置换后的元素再次按照相同的规则进行排列，可以得到原始集合。

3、封闭性：对于任意两个置换σ和τ，它们的复合（即先进行σ再进行τ）也是一个新的置换。

4、单位元：存在一个特殊的置换称为“恒等置换”（Id），它不改变任何元素的位置。

1、数组表示法：直接列出元素在新位置的顺序。(1 2 3)表示1保持不变，2和3交换位置。

2、循环表示法：通过循环来表示元素之间的交换关系。(1 2)(3 4)表示1和2交换位置，3和4交换位置。

3、两行矩阵表示法：使用两行矩阵来表示置换前后的位置关系。

\begin{pmatrix}

1 & 2 & 3 \\

2 & 3 & 1

\end{pmatrix}

表示1变为2，2变为3，3变为1。