连续是指事物或现象在时间、空间、数值等方面没有间断，始终保持着一定的联系和顺序。在数学中，连续通常指函数的连续性，即函数在某一点的极限值等于该点的函数值。
什么叫连续
“连续”这一概念在数学中具有非常重要的地位，它描述了函数在某区间内无间断、无跳跃的特性，如果一个函数在某个点及其附近的值是无限接近于该点的函数值的，那么这个函数在该点处就是连续的，以下是关于连续的定义和性质的详细解释：
一、定义
1、直观定义：
从几何角度来看，连续函数的图像是一条不间断、不断裂的曲线。
从数值角度来说，当自变量的变化足够小时，因变量的变化也足够小。
2、严格定义：
设函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 的某个邻域内有定义，\(\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f\) 在 \(x_0\) 处连续。
更一般地，如果函数 \(f\) 在定义域中的任意一点处都连续，则称 \(f\) 为连续函数。
二、性质
1、有界性：
如果函数 \(f\) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 \(f\) 在该区间上有界。
2、最值性：
如果函数 \(f\) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 \(f\) 在该区间上一定能取得最大值和最小值。
3、介值性：
如果函数 \(f\) 在区间 [a, b] 上连续，且 \(f(a)
eq f(b)\)，那么对于任何介于 \(f(a)\) 和 \(f(b)\) 之间的数 \(C\)，至少存在一个 \(c \in (a, b)\)，使得 \(f(c) = C\)。
4、一致连续性：
如果函数 \(f\) 在闭区间 [a, b] 上连续，则 \(f\) 在该区间上一致连续，即对于任意的 \(\varepsilon > 0\)，存在 \(\delta > 0\)，使得对于所有的 \(x_1, x_2 \in [a, b]\)，只要 \(|x_1 x_2| < \delta\)，就有 \(|f(x_1) f(x_2)| < \varepsilon\)。
三、例子与反例
1、连续函数的例子：
所有多项式函数都是连续的。
各类初等函数，如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在其定义域上也是连续的。
2、不连续函数的例子：
分段定义的函数，\(f(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x > 0 \\ 0 & \text{if } x \leq 0 \end{cases}\)，在 \(x = 0\) 处不连续。
符号函数，如 \(g(x) = \text{sgn}(x)\)，在 \(x = 0\) 处也不连续。
四、相关问答FAQs
1、什么是连续函数？
答：连续函数是指函数在某一点的极限值等于该点的函数值，如果一个函数在一个区间内的每一点都有定义，并且该函数的图像在该区间内没有间断或跳跃，那么这个函数在该区间内是连续的。
2、如何判断一个函数在某点是否连续？
答：要判断一个函数在某点是否连续，需要检查该点的极限是否存在且等于函数在该点的值，如果满足这个条件，则函数在该点连续。
