三线合一是指在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线和高线互相重合。
三线合一是数学几何中的一个基本定理，主要适用于等腰三角形和等边三角形，它是指在这些特定类型的三角形中，顶角的角平分线、底边的中线以及底边的高线这三条线段互相重合，这一现象在几何学中具有重要意义，因为它简化了对等腰三角形性质的理解和证明过程。
三线合一的定义与性质
定义
三线合一是指在等腰三角形（或等边三角形）中，顶角的角平分线、底边的中线和底边的高线三条线段完全重合，这意味着在这三类三角形中，这三条线不仅是相互独立的，而且是同一条直线。
性质
1、角平分线：顶角的角平分线将顶角分成两个相等的角，并且这条线也是底边的垂直平分线。
2、中线：底边的中线将底边分为两个相等的部分，并且这条线也通过三角形的重心。
3、高线：底边的高线是从顶点到对边（底边）的垂线，它将底边分为两个相等的部分，并且这条线也是顶角的角平分线的一部分。
三线合一的证明
为了证明三线合一定理，我们可以从等腰三角形的性质出发，假设△ABC是一个等腰三角形，其中AB=AC，AD是从顶点A到底边BC的中线，我们需要证明AD同时也是顶角的角平分线和底边的高线。
1、证明AD是角平分线：
由于AB=AC，根据等腰三角形的性质，∠B=∠C，AD作为连接顶点A与底边BC中点的线段，必然也是顶角的角平分线。
2、证明AD是高线：
在△ABD和△ACD中，我们有BD=DC（因为AD是底边BC的中线），AB=AC（等腰三角形的性质），AD=AD（公共边），根据SSS全等条件，我们可以得出△ABD≌△ACD。
∠ADB=∠ADC=90°（因为它们是对应角且全等三角形的对应角相等），所以AD⊥BC，即AD是底边BC的高线。
我们证明了在等腰三角形中，顶角的角平分线、底边的中线和底边的高线是同一直线，即三线合一。
逆命题及其证明
三线合一定理的逆命题同样成立，即如果一个三角形满足以下任一条件，那么这个三角形是等腰三角形：
1、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合。
2、如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合。
3、如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合。
这些逆命题的证明基于相似三角形的性质和全等三角形的判定条件，如果一个三角形中的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形的两个底角必然相等，从而构成等腰三角形。
应用举例与注意事项
三线合一定理在解决几何问题时非常有用，在计算等腰三角形的某些线段长度或角度时，可以利用三线合一的性质简化计算过程，需要注意的是，这一定理仅适用于等腰三角形和等边三角形，对于其他类型的三角形则不适用。
三线合一是数学几何中的一个基本定理，它揭示了等腰三角形和等边三角形中顶角的角平分线、底边的中线和底边的高线之间的特殊关系，这一定理不仅有助于理解等腰三角形的性质，还在解决几何问题时提供了有力的工具，其逆命题也为判断一个三角形是否为等腰三角形提供了简便的方法。
