"l1" 在编程中通常指一级缓存（Level 1 Cache），它是计算机处理器中的一种高速缓存，用于存储最常用的数据和指令，以加快处理器的运行速度。
在数学、统计学和机器学习领域，"l1"通常指的是L1范数（L1 norm），也称为曼哈顿距离（Manhattan distance）或最小绝对偏差和，L1范数是向量元素绝对值的总和，用于衡量向量中各个分量的绝对大小之和，与L2范数（欧几里得距离）不同，L1范数更关注于向量中各个分量的绝对差异，而不是它们的平方和。
L1范数的定义
给定一个向量 \(\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]\)，其L1范数定义为：
\[
\|\mathbf{x}\|_1 = \sum_{i=1}^{n} |x_i|
\]
\(|x_i|\) 表示 \(x_i\) 的绝对值。
L1范数的性质
1、非负性：对于任何向量 \(\mathbf{x}\)，总有 \(\|\mathbf{x}\|_1 \geq 0\)，当且仅当 \(\mathbf{x} = \mathbf{0}\) 时，\(\|\mathbf{x}\|_1 = 0\)。
2、齐次性：对于任何标量 \(a\) 和向量 \(\mathbf{x}\)，有 \(\|a\mathbf{x}\|_1 = |a|\|\mathbf{x}\|_1\)。
3、三角不等式：对于任何向量 \(\mathbf{x}\) 和 \(\mathbf{y}\)，有 \(\|\mathbf{x} + \mathbf{y}\|_1 \leq \|\mathbf{x}\|_1 + \|\mathbf{y}\|_1\)。
4、旋转不变性：L1范数对向量的旋转不敏感，即如果向量 \(\mathbf{x}\) 经过旋转得到 \(\mathbf{y}\)，则 \(\|\mathbf{x}\|_1 = \|\mathbf{y}\|_1\)。
L1范数的应用
稀疏编码：在信号处理和图像压缩中，L1范数常用于寻找最稀疏的解，即尽可能多的系数为零的解。
正则化：在机器学习中，L1正则化（Lasso回归）用于特征选择，通过引入L1范数作为惩罚项，可以使得模型的某些权重变为零，从而实现特征的选择。
优化问题：在求解优化问题时，L1范数可以作为目标函数的一部分，用于引导解向稀疏方向发展。
表格示例
| 向量 \(\mathbf{x}\) | L1范数 \(\|\mathbf{x}\|_1\) |
|||
| [0, 0, 0] | 0 |
| [1, 2, 3] | 6 |
| [0.5, 0.5, 0.5] | 1.5 |
| [1, 1, 1, 1] | 4 |
FAQs
Q1: L1范数与L2范数有何区别？
A1: L1范数是向量元素绝对值的总和，而L2范数是向量元素平方和的平方根，L1范数更关注于向量中各个分量的绝对差异，而L2范数则更关注于向量中各个分量的平方差异，L1范数具有旋转不变性，而L2范数则不具备这一性质。
Q2: 为什么在机器学习中使用L1正则化？
A2: 在机器学习中使用L1正则化的主要原因是为了实现特征选择，通过引入L1范数作为惩罚项，可以使得模型的某些权重变为零，从而选择出最重要的特征并忽略其他不重要的特征，这有助于提高模型的泛化能力和解释性。
