分形是研究一类具有自相似性、不规则性和复杂结构的几何形态的数学理论。它由美籍数学家本华·曼德博在20世纪60~70年代提出，并广泛应用于自然界和科学领域。
分形（Fractal）是由Benoit B. Mandelbrot在20世纪70年代提出的一个数学术语，用来形容那些具有自相似性和复杂结构的图形或集合，以下是关于分形的详细解释：
1、定义与特征
自相似性：这是分形的核心特征，分形图形在不同尺度下看起来相似，即局部结构与整体结构相似，一棵大树的树枝分布，近看某一树枝，其形态与整棵树的形态有相似之处；海岸线的轮廓，放大局部区域后，其形状依然与整体类似，这种自相似性可以是精确的、近似的或统计意义上的。
无限复杂性：分形具有无限的复杂程度，随着观察尺度的不断缩小，其细节会不断呈现出来，永远不会显得简单或重复，以科赫曲线为例，每迭代一次，曲线的细节就增加一倍，无论迭代多少次，它都具有复杂的结构。
分数维度：传统几何图形的维度通常是整数，如点是0维、线是1维、面是2维、体是3维，而分形的维度往往是分数，这反映了其复杂性和填充空间的能力，科赫曲线的维度大约是1.2619，大于1维但小于2维，说明它的复杂程度介于线和面之间。
2、类型
精确自相似分形：这类分形在不同的放大倍数下，其局部与整体完全相同，谢尔宾斯基三角形、康托尔集等，谢尔宾斯基三角形是由一个等边三角形开始，将其分成四个小等边三角形，去掉中间的一个，然后对剩下的三个小三角形重复上述过程，不断迭代下去得到的图形，在这个过程中，每个小三角形都与最初的大三角形形状完全相同。
半自相似分形：其局部与整体相似，但并非完全相同，存在一定的变化或随机性，自然界中的山脉、云朵等，它们在不同尺度下看起来相似，但由于受到多种因素的影响，并非完全精确的相似。
统计自相似分形：从统计意义上讲，其局部与整体具有相似的特征，股票价格的波动曲线在不同的时间尺度下可能呈现出类似的统计规律，但具体的波动幅度和形态并不完全一样。
3、应用
自然科学领域：在物理学中，用于研究材料的微观结构和物理现象，如晶体生长、凝聚态物质的结构等；在化学中，帮助理解分子的结构和化学反应的过程；在生物学中，描述生物体的形态和结构，如血管系统、神经元网络等。
计算机图形学领域：用于生成逼真的自然景观、纹理和动画效果，通过分形算法，可以创建出非常真实的山脉、云彩、树木等自然场景，大大提高了图形的真实感和视觉效果。
信号与图像处理领域：在信号处理中，用于分析时间序列数据，如心电图、脑电图等；在图像处理中，进行图像的分割、压缩和识别等操作。
分形理论不仅深化了人们对自然界的认知，还在多个科学领域中展现出广泛的应用潜力，推动了科学技术的进步与发展。
